Riassunto sulle funzioni - teoria

CHE COS’È UNA FUNZIONE?
Una funzione reale di variabile reale (f : R → R) è una legge che associa ad ogni valore x appartenente all’insieme di partenza, sottoinsieme di R, uno e un solo valore y  all’insieme di arrivo, sottoinsieme di R.

CHE COS’È  IL DOMINIO O CAMPO DI ESISTENZA DI UNA FUNZIONE?
Data una funzione f : R → R si dice DOMINIO o CAMPO DI ESISTENZA della funzione f quel sottoinsieme di R per tutti i valori del quale è possibile fare le operazioni della legge matematica che rappresenta la funzione.
Es. se f (x) = ..................................... allora il Dominio sarà D= .......................................................

CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI STUDIATE:
FUNZIONE POLINOMIALE o RAZIONALE INTERA --> x compare all'interno di un polinomio
Es. .................................................................................................................................................
FUNZIONE RAZIONALE FRATTA   --> x compare al denominatore di una frazione algebrica
Es. ................................................................................................................................................
FUNZIONE IRRAZIONALE: quando la variabile x compare sotto il segno di radice
Es. ................................................................................................................................................
FUNZIONE IRRAZIONALE FRATTA: quando la variabile x compare sotto il segno di radice ed al denominatore
Es. ................................................................................................................................................

COME SI CALCOLA IL DOMINIO DELLE FUNZIONI STUDIATE?
FUNZIONE POLINOMIALE O RAZIONALE INTERA:  D = R
FUNZIONE RAZIONALE FRATTA: si devono escludere dal dominio i valori della variabile x che annullano il denominatore vale a dire si deve porre DENOMINATORE  ≠ 0.
FUNZIONE IRRAZIONALE: si pongono tutti i radicandi delle radici di indice pari ≥ 0.

CHE COS’È UN ASINTOTO DI UNA FUNZIONE?
E’ una retta tangente all’infinito della curva.

COME SI DETERMINANO GLI ASINTOTI DI UNA FUNZIONE RAZIONALE FRATTA?
Si calcolano i limiti agli estremi del dominio. In particolare:
ASINTOTI VERTICALI:    ha asintoto verticale x = l  se ................................................
(si calcolano nei valori di x esclusi dal dominio)
ASINTOTO ORIZZONTALE:    ha asintoto orizzontale y = l  se ..............................................  
ASINTOTO OBLIQUO: si ha quando il grado del numeratore supera di 1 il grado del denominatore. Si calcola facendo la divisione fra numeratore e denominatore.

CHE COS’È LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO?
Sia ......... una funzione definita in un intorno di ...............   , appartenente al dominio.
La derivata di...............in...............si scrive..............ed è il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione nel punto .................
La derivata prima si calcola:
- tramite le formule di derivazione, oppure
- come limite del rapporto incrementale per h --> o ...................................................................

REGOLE DI DERIVAZIONE STUDIATE




QUAL È L’EQUAZIONE DELLA RETTA TANGENTE A UNA FUNZIONE IN UN PUNTO DATO?
................................................................................................................................................

FUNZIONE CRESCENTE
Una funzione  è crescente in un intervallo I se,
per ogni .........appartenente ad  I,
con .................................... si ha ....................................

FUNZIONE DECRESCENTE
Una funzione  è decrescente in un intervallo I se,
per ogni ........ appartenente ad I,
con si .................................... si ha....................................

CHE COS’È UN PUNTO DI MASSIMO RELATIVO DI UNA FUNZIONE?
Una funzione ............  ha un punto di massimo relativo in  se esiste un intorno I di  tale che per ogni .......appartenente all’intorno I, escluso........... , si ha ........................................ .

CHE COS’È UN PUNTO DI MINIMO RELATIVO DI UNA FUNZIONE?
Una funzione ............  ha un punto di minimo relativo in  se esiste un intorno I di  tale che per ogni .......appartenente all’intorno I, escluso........... , si ha ........................................ .

SI PUÒ DIMOSTRARE CHE:
Sia  derivabile in , appartenente al dominio.  Seè un punto di massimo o di minimo relativo,  allora .
Sia  derivabile in un intervallo I contenuto nel dominio D. Se  (o ) per ogni x appartenente all’intervallo I allora è crescente in I (o decrescente in I).

STUDIO DI FUNZIONE

DOMINIO
INTERSEZIONI CON GLI ASSI:      ..................................... .......................................            
SEGNO: si studia la disequazione .....................................; si cancellano nel piano cartesiano le zone in cui non ci può essere il grafico  in base alla positività o negatività della funzione
ASINTOTI: si calcolano i limiti agli estremi del dominio per la determinazione di eventuali asintoti verticali, orizzontali o obliqui
DERIVATA PRIMA:
si calcola la derivata prima
si pone  per determinare crescenza e decrescenza della funzione ed eventuali massimi e minimi relativi
GRAFICO PROBABILE